Analysis of Existence and Stability of Periodic Solutions in Differential Systems with Periodic Coefficients and Nonlinear Perturbations

Najah Abdullah Albshkar

 Department of Mathematics, Al-Zawiya University

najahalbshkar@gmail.com   

https://orcid.org/0009-0006-8579-9297

الملخص:

تتناول هذه الدراسة مسألة مهمة في المعادلات التفاضلية، وهي وجود الحلول الدورية في الانظمة ذات المعاملات الدورية، وكذلك دراسة استقرارها عند وجود اضطرابات غير خطية. هذا النوع من الانظمة يظهر في تطبيقات كثيرة مثل الميكانيكا الفلكية والهندسة الكهربائية والانظمة البيولوجية، لذلك فإن فهم سلوك هذه الأنظمة له قيمة نظرية وتطبيقية كبيرة. اعتمدت الدراسة على نظرية   فلوكيه Floquet, لتحليل الجزء الخطي من النظام، ثم توسيع التحليل ليشمل الاضطرابات غير الخطية باستخدام مبرهنة النقطة الثابتة ل بروور Brourwer , ومبدأ الانكماش ل باناخ Banach كما أستخدم مفهوم  ليابونوف Lyapunov  مع متباينة  جرونوال Gronwall لدراسة الاستقرار . وللتأكد من النتائج النظرية، أجريت حسابات عددية باستخدام طريقة رونج-كوتا Runge-Kutta من الرتبة الرابعة، مع عرض بعض الرسومات والجداول التوضيحية. ومن أهم مايميز هذا العمل أنه قدم في المبرهنة 4.8 , نصف قطر استقرار يناسب الاضطرابات غير الخطية التي لا تحقق شرط ليبشتز Lipschitz، مثل الحدود التكعيبية. وبذلك تم توسيع النتائج لتشمل فئة أوسع وأكثر واقعية من الأنظمة غير الخطية. كما بين التحليل العددي توافقا جيدا بين النتائج النظرية والنتائج المحسوبة، مع تطبيقات على معادلة Mathieu   ونظام (لينار) Lie’nard ونموذج (اخر) غير خطية.